方向余弦

【注】参考自 Wikipedia 。

1. 定义

1.1 方向余弦

• 在解析几何里，一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。

设 $\vec{v} = v_1 \vec{x} + v_2 \vec{y} + v_3 \vec{z}$ 其中，$\vec{x}$、$\vec{y}$、$\vec{z}$ 是一组标准正交基的单位基底向量，$v_1$、$v_2$、$v_3$ 分别为 $\vec{v}$ 在 $\vec{x}$、$\vec{y}$、$\vec{z}$ 上的分量，则 $\vec{v}$ 对于 $\vec{x}$、$\vec{y}$、$\vec{z}$ 的方向余弦 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 分别为

$$\begin{array}{c} \alpha = \cos(a) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{x}}{\parallel\vec{v}\parallel} = \frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 +v_3^2}} \\ \beta = \cos(b) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{x}}{\parallel\vec{v}\parallel} = \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 +v_3^2}} \\ \gamma = \cos(c) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{x}}{\parallel\vec{v}\parallel} = \frac{v_3}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 +v_3^2}} \end{array}$$

其中，$a$、$b$、$c$ 分别为 $\vec{v}$ 对于 $\vec{x}$、$\vec{y}$、$\vec{z}$ 的角度。

• 两个向量间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。

1.2 方向余弦矩阵

方向余弦矩阵是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵。方向余弦矩阵可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系，也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。

2. 性质

• $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$