几何矩

1. 定义

1.1 几何矩

几何矩定义于基本集 $\{x^p y^q\}$，则 $p+q$ 阶二维几何矩用 $m_{pq}$ 表示，其表达式为：

$$\begin{array}{c} m_{pq} = \underset{\zeta}{\iint} x^p y^q f(x,y) dxdy \end{array}$$

其中，$\zeta$ 是图像亮度函数 $f(x,y)$ 定义的像素空间区域。

1.2 特征函数

亮度函数 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变量称作特征函数：

$$\begin{array}{c} F(u,v) = \underset{\zeta}{\iint} e^{i(ux + vy)} f(x,y) dxdy \end{array}$$

其中，$(u,v)$ 表示频域坐标。将质数项展开成级数形式，得：

$$\begin{array}{c} F(u,v) = \sum_{p=0}^{\infty} \sum_{q=0}^{\infty} \frac{i^{p+q}}{p!q!} u^p v^q m_{pq} \end{array}$$

易得：

$$\begin{array}{c} \Big[\frac{\partial^p \partial^q F(u,v)}{\partial u^p \partial v^q} \Big]_{u=v=0} = i^{(p+q)} m_{pq} \end{array}$$

1.3 生成函数

亮度函数 $f(x,y)$ 的几何矩的生成函数定义为：

$$\begin{array}{c} M(u,v) = \underset{\zeta}{\iint} e^{(ux+vy)} f(x,y) dxdy \end{array}$$

由 1.2 可知：

$$\begin{array}{c} \Big[\frac{\partial^p \partial^q M(u,v)}{\partial u^p \partial v^q} \Big]_{u=v=0} = m_{pq} \end{array}$$

将上式的指数项级数展开可得：

$$\begin{array}{c} M(u,v) = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p!} \sum_{r=0}^{p} m_{p-r,r} u^{p-r} v^r \end{array}$$

2. 性质

2.1 唯一性定理

假定亮度函数 $f(x,y)$ 是分段连续且限制在区域 $\zeta$ 中，则几何矩序列 $\{m_{pq}\}$ 由亮度函数 $f(x,y)$ 唯一确定；反之亦然。

2.2 存在性定理

假定亮度函数 $f(x,y)$ 是分段连续且限制在区间 $\zeta$ 中，则各次的几何矩 $m_{pq}$ 均存在且有限。

2.3 几何矩对图像的形状描述

• 零阶几何矩：$m_{00}$ 代表一幅图像的总亮度。

• 一阶几何矩：$m_{10},m_{01}$ 是图像关于 $x$ 轴和 $y$ 轴的亮度矩，其亮度的「矩心」为：

$$\begin{array}{c} x_0 = \frac{m_{10}}{m_{00}}, y_0 = \frac{m_{01}}{m_{00}} \end{array}$$

• 二阶几何矩：$m_{20},m_{11},m_{02}$ 是一个关于原点的图像亮度分布变化的量度。

• 三阶中心矩：$\mu_{30},\mu_{03}$ 表示图像投影的偏离度，偏离度是图像离对称均值的偏差程度的一个统计度量。

3. 分类

3.1 剪影矩

一幅二值图像计算出的几何矩称为剪影矩。

3.2 边界矩

仅用一幅图像的边界点计算出来的几何矩称为边界矩。

3.3 中心矩

一幅图像相对于亮度矩心所计算出的几何矩称为中心矩，其表示为：

$$\begin{array}{c} \mu_{pq} = \underset{\zeta}{\iint} (x-x_0)^p (y-y_0)^q f(x,y) dxdy \end{array}$$

由中心矩的定义易知：

$$\begin{array}{c} \mu_{00} = m_{00} \\ \mu_{10} = \mu_{01} = 0 \end{array}$$

中心矩 $\mu_{20},\mu_{02}$ 是相对于平均值（矩心）的方差，其协方差由 $\mu_{11}$ 给出。