MatLab函数interp1、interp2、interp3、interpn

【注】详情请参阅 MatLab help 文档。

1. interp1

1.1 作用

对一元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。

1.2 语法

vq = interp1(x,v,xq)
vq = interp1(x,v,xq,method)
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
vq = interp1(v,xq)
vq = interp1(v,xq,method)
vq = interp1(v,xq,method,extrapolation)
pp = interp1(x,v,method,'pp')

• vq = interp1(x,v,xq)
  向量 x、v 分别对应样本点的自变量值、因变量值；向量 xq 为查询点的自变量值。采用线型插值计算 xq 对应的因变量值返回到向量 vq 中。

• vq = interp1(x,v,xq,method)
  在上述语法基础上指定一元函数插值方法，其中 method 可取值有：

method 取值	说明	连续性	注意
‘linear’	线型插值（默认）	$C^0$	1.至少需要 2 个点 2.比最近邻点插值需要更多内存和计算时间
‘nearest’	最近邻点插值	不连续	1.至少需要 2 个点 2.最低内存要求 3.最快计算时间
‘next’	下一个邻点插值	不连续	1.至少需要 2 个点 2.内存要求和计算时间与 ‘nearest’ 相同
‘previous’	上一个邻点插值	不连续	1.至少需要 2 个点 2.内存要求和计算与 ‘nearest’ 相同
‘pchip’	保形分段三次插值	$C^1$	1.至少需要 4 个点 2.比 ‘linear’ 需要更多内存和计算时间
‘cubic’ / ‘v5cubic’	旧版本 ‘cubic’ 同 ‘pchip’、‘v5cubic’ 为三次卷积插值；后续新版本 ‘cubic’ 将替代 ‘v5cubic’（个人情况详见 MatLab 帮助文档）	$C^1$	三次卷积插值要求点之间的间距必须均匀
‘makima’	修改后的 Akima 三次 Hermite 插值	$C^1$	1.至少需要 2 个点 2.产生的波动比 ‘spline’ 小，但不像 ‘pchip’ 那样急剧变平 3.计算成本高于 ‘pchip’，但通常低于 ‘spline’ 4.内存要求与 ‘spline’ 类似
‘spline’	使用非结终止条件的三次样条插值	$C^2$	1.至少需要 4 个点 2.比 ‘pchip’ 需要更多内存和计算时间

• vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
  在上述语法基础上，指定外插策略，来计算在给定自变量值向量 x 域范围外的点。extrapolation 可取值为 extrap | 标量值，前者指定 interp1 使用与内插所用相同方法来计算落在 x 域范围外的点；后者指定落在 x 域范围外的点均取对应标量值作为插值函数值。
  【注】若没有给出 extrapolation 参数，则默认指定以下情况：

1. 如果指定 ‘pchip’、‘spline’ 或 ‘makima’ 插值方法，则 extrapolation 默认值为 ‘extrap’ 。
2. 任何其他方法都指定在 x 范围外的点的插值函数值为 NaN 。

• vq = interp1(v,xq)
  假定样本点坐标默认集为从 1 到 n 的数字序列，其中 n 为：

1. 当 v 为向量，n = length(v) 。
2. 当 v 为数组，n = size(v,1) 。

• vq = interp1(v,xq,method)
  在上述语法基础上指定插值方法。

• vq = interp1(v,xq,method,extrapolation)
  在上述语法基础上制定外插值策略。

• pp = interp1(x,v,method,‘pp’)
  使用 method 插值方法返回插值后的分段多项式函数结构体 pp （可结合 ppval 函数计算查询点出的插值函数值）。

2. interp2

2.1 作用

对二元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。其中样本点数据为 meshgrid 格式。
【注】meshgrid 格式为一种完整网格格式（可使用 meshgrid 函数创建），即元素表示矩阵区域内的网格点。一个矩阵包含 x 坐标，另一个矩阵包含 y 坐标。x 矩阵中的值沿行方向严格单调递增，沿列方向为常量；y 矩阵则相反。

2.2 语法

Vq = interp2(X,Y,V,Xq,Yq)
Vq = interp2(V,Xq,Yq)
Vq = interp2(V)
Vq = interp2(V,k)
Vq = interp2(___,method)
Vq = interp2(___,menthod,extrapval)

• Vq = interp2(X,Y,V,Xq,Yq)
  向量 X、Y 为样本点的二元自变量值，向量 V 为对应的因变量值；Xq、Yq 指定查询点的自变量值。采用线性插值方法计算查询点处的插值函数值。

• Vq = interp2(V,Xq,Yq)
  假定一个默认的样本点网格，其覆盖区域为 X=1:n 和 Y=1:m，其中 [m,n]=size(V)。

• Vq = interp2(V)
  在上述语法默认的样本点网格 [m,n] 基础上，将每个维度上的样本点之间的间隔分割一次，即两两相邻样本点之间取中点，形成更细密的优化网络，然后返回使用线性插值法计算所有网格点对应的插值函数值。

• Vq = interp2(V,k)
  在上述语法基础上，将每个维度上的样本点之间的间隔分割 k 次，形成更细密的优化网络，然后返回使用线性插值法计算所有网格点对应的插值函数值。

• Vq = interp2(___,method)
  在以上任一语法基础上，指定二元函数插值方法：

method 值	说明	连续性	注意
‘linear’	线性插值法（默认）	$C^0$	1.每个维度至少需要两个网格点 2.比 ‘nearest’ 需要更多内存
‘nearest’	最近邻插值	不连续	1.每个维度需要两个网格点 2.内存要求最低，计算速度最快
‘cubic’	三次卷积插值	$C^1$	1.每个维度的网格必须有均匀间隔（各个维度间隔不要求相等） 2.每个维度至少需要 4 个点 3.比 ‘linear’ 需要更多内存和计算时间
‘makima’	修改后的 Akima 三次 Hermite 插值	$C^1$	1.每个维度至少需要 2 个点 2.产生的波动比 ‘spline’ 小 3.计算时间通常少于 ‘spline’，但内存要求类似
‘spline’	使用非结终止条件的三次样条插值	$C^2$	1.每个维度至少需要 4 个点 比 ‘cubic’ 需要更多内存和计算时间

• Vq = interp2(___,menthod,extrapval)
  在上述语法基础上制定外插值策略，来计算在给定自变量值向量网格域范围外的点。extrapolation 可取值为 标量值，指定落在网格域范围外的点均取对应标量值作为插值函数值。
  【注】若没有给出 extrapolation 参数，则默认指定以下情况：

1. 如果指定 ‘spline’ 或 ‘makima’ 插值方法，则采用与内插相同的插值方法进行外插值，并返回外插值结果。
2. 任何其他方法，都指定在网格域范围外的点的插值函数值为 NaN 。

3. interp3

3.1 作用

对三元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。其中样本点数据为 meshgrid 格式。
【注】meshgrid 格式为一种完整网格格式（可使用 meshgrid 函数创建），即元素表示矩阵区域内的网格点。一个矩阵包含 x 坐标、一个矩阵包含 y 坐标、一个矩阵包含 z 坐标。x 矩阵中的值沿第二维度（行）方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量；y 矩阵中的值沿第一维度（列）方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量；z 矩阵中的值沿第三维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量。

3.2 语法

Vq = interp3(X,Y,Z,V,Xq,Yq,Zq)
Vq = interp3(V,Xq,Yq,Zq)
Vq = interp3(V)
Vq = interp3(V,k)
Vq = interp3(___,method)
Vq = interp3(___,method,extrapval)

• Vq = interp3(X,Y,Z,V,Xq,Yq,Zq)
  向量 X、Y、Z 为样本点的三元自变量值，向量 V 为对应的因变量值；Xq、Yq、Zq 指定查询点的自变量值。采用线性插值方法计算查询点处的插值函数值。

• Vq = interp3(V,Xq,Yq,Zq)
  假定一个默认的样本点网格，其覆盖区域为 X=1:n、Y=1:m、Z=1:p，其中 [m,n,p]=size(V)。

• Vq = interp3(V)
  在上述语法默认的样本点网格 [m,n,p] 基础上，将每个维度上的样本点之间的间隔分割一次，即两两相邻样本点之间取中点，形成更细密的优化网络，然后返回使用线性插值法计算所有网格点对应的插值函数值。

• Vq = interp3(V,k)
  在上述语法基础上，将每个维度上的样本点之间的间隔分割 k 次，形成更细密的优化网络，然后返回使用线性插值法计算所有网格点对应的插值函数值。

• Vq = interp3(___,method)
  在以上任一语法基础上，指定二元函数插值方法：

method 值	说明	连续性	注意
‘linear’	线性插值法（默认）	$C^0$	1.每个维度至少需要两个网格点 2.比 ‘nearest’ 需要更多内存
‘nearest’	最近邻插值	不连续	1.每个维度需要两个网格点 2.内存要求最低，计算速度最快
‘cubic’	三次卷积插值	$C^1$	1.每个维度的网格必须有均匀间隔（各个维度间隔不要求相等） 2.每个维度至少需要 4 个点 3.比 ‘linear’ 需要更多内存和计算时间
‘makima’	修改后的 Akima 三次 Hermite 插值	$C^1$	1.每个维度至少需要 2 个点 2.产生的波动比 ‘spline’ 小 3.计算时间通常少于 ‘spline’，但内存要求类似
‘spline’	使用非结终止条件的三次样条插值	$C^2$	1.每个维度至少需要 4 个点 比 ‘cubic’ 需要更多内存和计算时间

• Vq = interp3(___,method,extrapval)
  在上述语法基础上制定外插值策略，来计算在给定自变量值向量网格域范围外的点。extrapolation 可取值为 标量值，指定落在网格域范围外的点均取对应标量值作为插值函数值。
  【注】若没有给出 extrapolation 参数，则默认指定以下情况：

1. 如果指定 ‘spline’ 或 ‘makima’ 插值方法，则采用与内插相同的插值方法进行外插值，并返回外插值结果。
2. 任何其他方法，都指定在网格域范围外的点的插值函数值为 NaN 。

4. interpn

4.1 作用

对 n 元函数数据进行插值，得到指定自变量值对应插值函数值。其中样本点数据为 ndgrid 格式（与 meshgrid 略有不同，详情请参阅）。
【注】ndgrid 格式为另一种完整网格格式（可使用 ndgrid 函数创建），即元素表示矩阵区域内的网格点。X1 矩阵中的值沿第一维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量；X2 矩阵中的值沿第二维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量（第一、二维度与 meshgrid 格式不同）；$\cdots$；Xn 矩阵中的值沿第 n 维度方向严格单调递增，沿其余维度方向为常量。

4.2 语法

Vq = interpn(X1,X2,...,Xn,V,Xq1,Xq2,...,Xqn)
Vq = interpn(V,Xq1,Xq2,...,Xqn)
Vq = interpn(V)
Vq = interpn(V,k)
Vq = interpn(___,method)
Vq = interpn(___,method,extrapval)

• Vq = interpn(X1,X2,…,Xn,V,Xq1,Xq2,…,Xqn)
  向量 X1,X2,$\cdots$,Xn 为样本点的 n 元自变量值，向量 V 为对应的因变量值；Xq1,Xq2,$\cdots$,Xqn 指定查询点的自变量值。采用线性插值方法计算查询点处的插值函数值。

• Vq = interpn(V,Xq1,Xq2,…,Xqn)
  假定一个默认的样本点网格，其覆盖区域为 X1=1:N1、X2=1:N2、$\cdots$、Xn=1:Nn，其中 [N1, N2, $\cdots$, Nn] = size(V) 。

• Vq = interpn(V)
  在上述语法默认的样本点网格 [N1, N2, $\cdots$, Nn] 基础上，将每个维度上的样本点之间的间隔分割一次，即两两相邻样本点之间取中点，形成更细密的优化网络，然后返回使用线性插值法计算所有网格点对应的插值函数值。

• Vq = interpn(V,k)
  在上述语法基础上，将每个维度上的样本点之间的间隔分割 k 次，形成更细密的优化网络，然后返回使用线性插值法计算所有网格点对应的插值函数值。

• Vq = interpn(___,method)
  在以上任一语法基础上，指定二元函数插值方法：

method 值	说明	连续性	注意
‘linear’	线性插值法（默认）	$C^0$	1.每个维度至少需要两个网格点 2.比 ‘nearest’ 需要更多内存
‘nearest’	最近邻插值	不连续	1.每个维度需要两个网格点 2.内存要求最低，计算速度最快
‘cubic’	三次卷积插值	$C^1$	1.每个维度的网格必须有均匀间隔（各个维度间隔不要求相等） 2.每个维度至少需要 4 个点 3.比 ‘linear’ 需要更多内存和计算时间
‘makima’	修改后的 Akima 三次 Hermite 插值	$C^1$	1.每个维度至少需要 2 个点 2.产生的波动比 ‘spline’ 小 3.计算时间通常少于 ‘spline’，但内存要求类似
‘spline’	使用非结终止条件的三次样条插值	$C^2$	1.每个维度至少需要 4 个点 比 ‘cubic’ 需要更多内存和计算时间

• Vq = interpn(___,method,extrapval)
  在上述语法基础上制定外插值策略，来计算在给定自变量值向量网格域范围外的点。extrapolation 可取值为 标量值，指定落在网格域范围外的点均取对应标量值作为插值函数值。
  【注】若没有给出 extrapolation 参数，则默认指定以下情况：

1. 如果指定 ‘spline’ 或 ‘makima’ 插值方法，则采用与内插相同的插值方法进行外插值，并返回外插值结果。
2. 任何其他方法，都指定在网格域范围外的点的插值函数值为 NaN 。