量化笔试数理知识复习

概率论

常用公式	数学描述
全概率公式	$P(X) = \sum_n P(X, Y_i) = \sum_n P(X
条件概率公式	$P(X
贝叶斯公式	$P(X, Y) = P(X

统计

切比雪夫不等式

设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X) = \mu$，方差 $D(X) = \sigma^2$，则对于任意正数 $\varepsilon$，不等式

$$P\{ |X - \mu| \geq \varepsilon \} \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

或者

$$P\{ |X - \mu| \lt \varepsilon \} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

弱大数定理

设 $X_1, X_2, \cdots$ 是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望 $E(X_k) = \mu, (k = 1, 2, \cdots)$。作前 $n$ 个变量的算术平均 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$，则对于任意 $\varepsilon \gt 0$，有

$$\lim_{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \mu\right| \lt \varepsilon\right\} = 1$$

伯努利大数定理

设 $f_A$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数，$p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 $\varepsilon \gt 0$，有

$$\lim_{n \rightarrow \infty} P \left\{ \left| \frac{f_A}{n} - p \right| \lt \varepsilon \right\} = 1$$

或者

$$\lim_{n \rightarrow \infty} P\left\{ \left| \frac{f_A}{n} - p \right| \geq \varepsilon \right\} = 0$$

微积分

泰勒公式

设 $n$ 是一个正整数，如果定义在一个包含 $a$ 的区间上的函数 $f$ 在 $a$ 点处 $n+1$ 次可导，那么对于这个区间上的任意 $x$ 都有：

$$f(x) = \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n + R_n (x)$$

当 $a$ 为 $0$ 时，我们称之为麦克劳林公式。

微分表

初等函数	导数
$\tan{x}$	$\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
$\cot x$	$-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$e^x$	$e^x$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$f(x) g(x)$	$f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}$	$\frac{f^{'}(x)g(x) - f(x)g^{'}(x)}{g^2(x)}$
$f(g(x))$	$f^{'}(g(x))g^{'}(x)$

积分表

不定积分	积分结果
$\int e^x \mathrm{d}x$	$e^x + C$
$\int \alpha^x \mathrm{d}x$	$\frac{\alpha^x}{\ln \alpha} + C$
$\int \ln x \mathrm{d}x$	$x \ln x - x + C$
$\int \log_{\alpha} x \mathrm{d}x$	$\frac{1}{\ln \alpha}(x\ln x - x) + C$
$\int \frac{1}{x \ln x} \mathrm{d}x$	$\ln(\ln x) + C$
$\int \cos x \mathrm{d}x$	$\sin x + C$
$\int \sin x \mathrm{d}x$	$-\cos x + C$
$\int \sec^2 x \mathrm{d}x$	$\tan x + C$
$\int \csc^2 x\mathrm{d}x$	$-\cot x + C$
$\int \tan x \mathrm{d}x$	$-\ln
$\int \cot x \mathrm{d}x$	$\ln
$\int \sec x \mathrm{d}x$	$\ln
$\int \csc x \mathrm{d}x$	$\ln
$\int \sin^n x \mathrm{d}x$	$-\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2$
$\int \cos^n x \mathrm{d}x$	$\frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2$
$\int \tan^n x \mathrm{d}x$	$\frac{1}{n-1} \tan^{n-1} x - \int \tan^{n-2} x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2$
$\int \cot^n x \mathrm{d}x$	$-\frac{1}{n-1} \cot^{n-1} x - \int \cot^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2$
$\int \sec^n x \mathrm{d}x$	$\frac{1}{n-1} \sec^{n-2}x \tan x + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2$
$\int \csc^n x \mathrm{d}x$	$-\frac{1}{n-1} \csc^{n-2}x \cot x + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2}x \mathrm{d}x + C, \forall n \geq 2$
$\int \arcsin x \mathrm{d}x$	$x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
$\int \arccos x \mathrm{d}x$	$x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$
$\int \arctan x \mathrm{d}x$	$x \arctan x - \frac{1}{2} \ln

定积分	积分结果
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} \mathrm{d}x$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n{x} \mathrm{d}x$	$\begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, \quad n > 1 \wedge n\%2 = 1 \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, \quad n > 0 \wedge n\%2 = 0 \end{cases}$

线性代数

常见概念	定义
奇异矩阵	秩不为满秩的矩阵。
对称矩阵	$A^{'} = A$。
反对称矩阵	$A^{'} = -A$。
特征值	$A - \lambda E = 0$ 的所有 $\lambda$ 解。
迹	$n \times n$ 方阵的主对角线上各个元素之和。

抽象代数

常见概念	定义

随机过程