1. 简介

均值不等式(inequality of arithmetic and geometric means,简称 AM-GM 不等式)是数学中常用的基本不等式之一。

2. 表述

2.1 算术均值

对于 nn 个实数 x1,x2,,xnRx_1,x_2,\cdots,x_n \in \mathbb{R},它们的算术均值定义为

x1+x2++xnn\begin{array}{lll} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \end{array}

2.2 几何均值

对于 nn 个非负的实数 x1,x2,,xn0x_1,x_2,\cdots,x_n \geq 0,它们的几何均值定义为

x1x2xnn\begin{array}{lll} \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \end{array}

2.3 均值不等式

对于 nn 个非负的实数 x1,x2,,xn0x_1,x_2,\cdots,x_n \geq 0,有以下均值不等式成立:

x1+x2++xnnx1x2xnn\begin{array}{lll} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \end{array}

其中等号成立当且仅当 x1=x2==xnx_1 = x_2 = \cdots = x_n

证明
琴生不等式可知,对于一个凹函数,其满足凸组合的函数值大于等于函数值的凸组合。由于对数函数是一个凹函数,故有

ln(i=1nxin)i=1n1nlnxi=ln(i=1nxi1n)\begin{array}{lll} \ln(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}) & \geq & \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \ln{x_i} \\ & = & \ln (\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{1}{n}}) \end{array}

对上式两边同时取指数,则有

i=1nxini=1nxin\begin{array}{lll} \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} & \geq & \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \end{array}

Q.E.D.

附录

参考资料: