【注】此论文中谈论的图像均为像素值在 (0,255) 范围内的 RGB 图像,定义点 (i,j) 处像素值为 f(i,j)。
1. 拉普拉斯分布特性
对于自然图像而言,点 (i,j) 处的相邻像素点为
{(i−1,j−1),(i−1,j),(i−1,j+1),(i,j−1),(i,j+1),(i+1,j−1),(i+1,j),(i+1,j+1)}
对应的相邻像素点值为
Q(i,j)={f(i−1,j−1),f(i−1,j),f(i−1,j+1),f(i,j−1),f(i,j+1),f(i+1,j−1),f(i+1,j),f(i+1,j+1)}
定义序列
f(i,j)−q(i,j)∀i,j,q(i,j)∈Q(i,j)
则该序列基本符合均值为 0 ,方差很小的拉普拉斯分布。此即为自然图像相邻像素值的拉普拉斯分布特性。
2. JPEG 中的 DCT 和 IDCT 公式
JPEG 中采用的是 DCT-II 公式。其中
C(x)={8121x=0x=0
2.1 DCT 公式
F(u,v)=C(u)C(v)∑i=07∑j=07f(i,j)⋅cos162i+1uπcos162j+1vπ
2.2 IDCT 公式
f^(i,j)=∑u=07∑v=07C(u)C(v)F(u,v)⋅cos162i+1uπcos162j+1vπ
3. AC 系数预测 DC 系数
3.1 原理
相邻图像块边界的图像像素值满足拉普拉斯分布,因此可以用来预测相邻块的 DC 分量。假设已知相邻两个 8×8 图像块边缘相邻的两个图像点像素值:
p(k)=ρ(k)+N21c1,1(k)p(k+1)=ρ(k+1)+N21c1,1(k+1)
其中,ρ 表示组成像素值 p 的所有 AC 分量部分,c1,1 表示当前块的 DC 分量(本质上为 C(0)C(0)F(0,0))。则根据拉普拉斯特性有:
⇒⇒p(k+1)ρ(k+1)+N21c1,1(k+1)c1,1(k+1)≈≈≈p(k)ρ(k)+N21c1,1(k)c1,1(k)+N2(ρ(k)−ρ(k+1))
因此,如果当前图像块的 DC 分量缺失,其实是可以用相邻块来进行预测。其主要思想就是用未缺失的 AC 分量结合相邻块的 DC 分量来预测当前块的 DC 分量。
3.2 方式
因为 JPEG 是以 8×8 大小划分图像块的,以第一种方式为例,预测得到的当前块的 DC 系数为:
c1,1(k+1)≈c1,1(k)+8N2∑i=18(ρi(k)−ρi(k+1))
4. JPEG 压缩中 DC 系数与 AC 系数之间的制约关系
由于 DC 系数(N21c1,1)是 8×8 图像块像素值的均值,且像素值的范围为 (0,255),故 DC 系数与 AC 系数之间会相互制约:
- 若 AC 系数的可变化范围大,则说明 DC 系数较小。
- 若 DC 系数较大,则说明 AC 系数的可变化范围小。
DC 系数和 AC 系数的取值范围不同,且最值不能同时取到。比如:
- DC 系数的取值范围为 [−1024,1024]。
- 某些 AC 系数的取值范围为 [−420.3863,420.3863]。