刚性方程

摘自Wikipedia——刚性方程。

1. 定义

在数学领域中，刚性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定，只要时间间隔略大，其解就会不稳定。目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速变动的项，则其为刚性方程。
在积分微分方程时，若某一区域的解曲线的变化很大，会希望在这个区域的积分间隔密一些，若另一区域的曲线近似直线，且斜率接近零，会希望在这个区域的积分间隔松一些。不过针对一些问题，就算曲线近似直线，仍然需要用非常小的积分间隔来积分，这种现象称为“刚性”。有时可能会出现两个不同问题，一个有“刚性”，另一个没有，但两个问题却有同一个解的情形。因此“刚性”不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以称为是刚性系统。

2. 举例

考虑如下初值问题：

$$\begin{array}{c} y^{'} = -15y(t), t \geq 0, y(0) = 1 \end{array}$$

其精确解是：

$$\begin{array}{c} y(t) = e^{-15t} \end{array}$$

易知，当${t \rightarrow \infty}$时，${y(t) \rightarrow 0}$。当我们用数值分析的方法来解决该问题时，我们希望数值解也能满足该性质。

• 若以欧拉方法来求数值解，则使用不同的步长将会得到不同的结果。第一种，步长${h=1/4}$的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为 ${h=1/8}$时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在${0}$附近震荡，并且不可能表示精确的解。

• 而梯形法（即两阶段亚丹士-莫耳吞法）表达为

$$\begin{array}{c} y_{n+1} = y_n + {1 \over 2}h(f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1})) \end{array}$$

其求得的结果比欧拉法的结果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

3. 特性

刚性系统的特色是该系统所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部绝对值中，最大和最小的比值远大于1。

4. 稳定区域

• 将龙格－库塔法应用至测试方程 ${y^{'} = ky}$ ，可以得到如 ${y_{n+1} = \phi(hk)y_n}$ 的形式，并可归纳出 ${y_n = (\phi(hk))^ny_0}$ ，其中 $\phi$ 称为稳定性函数。因此

$$\begin{array}{c} \lim_{n \rightarrow \infty}y_n = 0 \end{array}$$

的条件等价于

$$\begin{array}{c} |\phi(hk)| \lt 1 \end{array}$$

这启发了绝对稳定区域（有时简称为稳定区域）的定义，亦即集合${ \{z \in \mathbb {C}|\,\,|\phi(z)| \lt 1\} }$。

• 若一个方法的稳定区域包含 ${ \{z \in \mathbb {C} |\,\,\mathrm {Re} (z) \lt 0 \} }$（即左半平面），则称该方法为A-稳定。

欧拉法	梯形法