幂矩阵和初等矩阵函数

1. 幂等矩阵

1.1 定义

若矩阵 $\boldsymbol{A}_{n \times n}$ 满足：

$$\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{AA} = \boldsymbol{A} \end{array}$$

则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为幂等矩阵。

1.2 性质

• 函数 $f(s\boldsymbol{I} + t\boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A})f(s) + \boldsymbol{A}f(s + t)$

猜想

此处以及后面的函数 $f(\cdot)$ 应该是需要具备一定条件的，我猜可能是需要是要求 $f(\cdot)$ 能够进行泰勒展开。但我没有找到相关参考文献，有知道的朋友希望能告知一下~

2. 对合矩阵（幂单矩阵）

2.1 定义

若矩阵 $\boldsymbol{A}_{n \times n}$ 满足：

$$\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{I} \end{array}$$

则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为对合矩阵或幂单矩阵。

2.2 性质

• 函数 $f(s\boldsymbol{I} + t\boldsymbol{A}) = \frac{1}{2} [(\boldsymbol{I} + \boldsymbol{A}) f(s + t) + (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A})f(s - t)]$

3. 幂零矩阵

3.1 定义

若矩阵 $\boldsymbol{A}_{n \times n}$ 满足：

$$\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{AA} = \boldsymbol{0} \end{array}$$

则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为幂零矩阵。

3.2 性质

• 函数 $f(s\boldsymbol{I} + t\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{I} f(s) + t \boldsymbol{A} f^{'}(s)$

4. 初等矩阵函数

4.1 三角函数

• $\sin(\boldsymbol{A}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \boldsymbol{A}^{2n+1}}{(2n+1)!} = \boldsymbol{A} - \frac{1}{3!}\boldsymbol{A}^3 + \frac{1}{5!}\boldsymbol{A}^5 - \cdots$

• $\cos(\boldsymbol{A}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\boldsymbol{A}^{2n}}{(2n)!} = \boldsymbol{I} - \frac{1}{2!}\boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{4!}\boldsymbol{A}^4 - \cdots$

4.2 指数函数和对数函数

• e^\boldsymbol{A} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \boldsymbol{A}^n = \boldsymbol{I} + \boldsymbol{A} + \frac{1}{2!} \boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{3!}\boldsymbol{A}^3 + \cdots

• $\ln(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \boldsymbol{A}^n = \boldsymbol{A} - \frac{1}{2} \boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{3} \boldsymbol{A}^3 - \cdots$