MoorePenrose伪逆

1. 简介

Moore-Penrose 伪逆常用于求解或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解。其在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

2. 定义

矩阵 $A$ 的伪逆定义为

$$\begin{array}{c} A^+ = \lim_{\alpha \rightarrow 0}(A^T A + \alpha I)^{-1} A^T \end{array}$$

实际计算往往使用以下公式

$$\begin{array}{c} A^+ = V D^+ U^T \end{array}$$

其中，矩阵 $U$、$D$、$V$ 分别是矩阵 $A$ 奇异值分解后得到的矩阵。

【注】对角矩阵 $D$ 的伪逆 $D+$ 是其非零元素取倒数之后转置得到的。

3. 性质

• 当矩阵 $A$ 的列数多于行数时，$x = A^+ y$ 是方程所有可行解中欧几里得范数 $|x|_2$ 最小的。

• 当矩阵 $A$ 的行数多于列数时，$x = A^+ y$ 是使得 $Ax$ 和 $y$ 的欧几里得距离 $|Ax - y|_2$ 最小的解。