Toeplitz矩阵和循环矩阵

1. Toeplitz矩阵

1.1 定义

Toeplitz（特普利茨）矩阵又称为常对角矩阵，该矩阵每条左上至右下的对角线均为常数。Toeplitz矩阵 $A$ 为满足以下条件的矩阵：

$\begin{array}{c} A_{ij} = A_{i+1,j+1} \end{array}$

其一般形式为：

$\begin{array}{c} A = \left[ \begin{matrix} a_0 & a_{-1} & \cdots & a_{-(n-1)} \\ a_{1} & a_0 & \cdots & a_{-(n-2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_0 \end{matrix} \right] \end{array}$

2. 循环矩阵

2.1 定义

循环矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，其列向量/行向量的每个元素都是前一个列向量/行向量个元素循环右移一个位置的结果。循环矩阵 $C$ 的一般形式为：

$\begin{array}{c} C = \left[ \begin{matrix} c_0 & c_{n-1} & \cdots & c_{1} \\ c_{1} & c_0 & \cdots & c_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n-1} & c_{n-2} & \cdots & c_0 \end{matrix} \right] \end{array}$

若循环矩阵 $C$ 还满足：

$\begin{array}{c} c_{n-i} = c_i , \ \ 0 \lt i \lt n \end{array}$

则矩阵 $C$ 称为对称循环矩阵。

2.2 性质

若 $A,B$ 为两个循环矩阵，则 $A+B,AB$ 都是循环矩阵，且

$\begin{array}{c} AB = BA \end{array}$

证明： $AB = BA$

定义向量 $\boldsymbol{v}$ 的反转向量为 $\tilde{\boldsymbol{v}}$ ，其元素序列为原向量 $\boldsymbol{v}$ 的反转。

则易知以下式子成立：

$\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2) = (\tilde{\boldsymbol{v}_2}, \tilde{\boldsymbol{v}_1}) \end{array}$

即两个向量的内积等于它们反转向量的内积。

定义向量 $\boldsymbol{v}$ 的循环右移 $i$ 个位置（ $i$ 为负数则表示循环左移 $-i$ 个位置）的向量为 $\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}$ ，易知 $\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}$ 的反转向量

$\begin{array}{c} \tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}} = \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}} \end{array}$

易知对于任意整数 $c$ ，均有以下等式成立：

$\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i+c}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j+c}{\rightarrow}}_2) \end{array}$

要证明原命题，易知只需证明：

$\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1) \end{array}$

由以上性质可知：

$\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2, \tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{-j}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{-j+i+j}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{-i+i+j}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1) \end{array}$

循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵。

3. 分块Toeplitz/循环矩阵

3.1 定义

对于分块矩阵

$\begin{array}{c} A = \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1N} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{M1} & A_{M2} & \cdots & A_{MN} \end{matrix} \right] \end{array}$