正交多项式

1. 定义

• 若函数 $W(x)$ 在区间 (a,b) 可积，且 $W(x) \geq 0$，则 $W(x)$ 可作为权函数。

对于一个多项式的序列 $f_i$ 和权函数 $W(x)$，定义内积

$$\begin{array}{c} \lt f_m, f_n \gt = \int_a^b f_m(x) f_n(x) W(x) dx \end{array}$$

• 若 $n \ne m$，有 $\lt f_m, f_n \gt = 0$，这些多项则称为正交多项式。
• 若 $f_i$ 除了满足正交性之外，更有 $\lt f_n, f_n \gt = 1$，则称为规范正交多项式。

2. 常见的正交多项式

• 勒让得多项式
• 切比雪夫多项式
• 雅可比多项式
• 埃尔米特多项式
• 拉盖尔多项式
• 盖根鲍尔多项式
• 哈恩多项式
• 拉卡多项式
• 查理耶多项式
• 连续双哈恩多项式
• 贝特曼多项式
• 双重哈恩多项式
• 小q-雅可比多项式
• 本德尔·邓恩多项式
• 威尔逊多项式
• Q哈恩多项式
• 大q-雅可比多项式
• Q-拉盖尔多项式
• Q拉卡多项式
• 梅西纳多项式
• 克拉夫楚克多项式
• 梅西纳-珀拉泽克多项式
• 连续哈恩多项式
• 连续q-哈恩多项式
• Q梅西纳多项式
• 阿斯克以-威尔逊多项式
• Q克拉夫楚克多项式
• 大q-拉盖尔多项式
• 双Q克拉夫楚克多项式
• Q查理耶多项式
• 泽尔尼克多项式
• 罗杰斯-斯泽格多项式
• 戈特利布多项式