正负定矩阵

1. 正定矩阵

1.1 定义

• 在实数域下，一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $M$ 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 $z$ 都有 $z^T M z \gt 0$ 。

• 在复数域下，一个 $n \times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 $z$ 都有 $z^* M z \gt 0$。

1.2 性质

对于 $n \times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$，下列性质与「$M$ 是正定矩阵」等价：

• 矩阵 $M$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 都是正的。由于 $M$ 必然与一个实对角 $D$ 相似，即 $M = P^{-1}DP$，则 $M$ 是正定矩阵当且仅当 $D$ 的对角线上的元素都是正的。

• $M$ 的所有顺序主子式都是正的。

• 存在唯一的下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是正的，使得：$M = L L^*$。其中，$L^*$ 是 $L$ 的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。

对于实称阵，只需将上述性质中的 $\mathbb{C}^n$ 改成 $\mathbb{R}^n$，将「共轭转置」改为「转置」即可。

2. 半正定矩阵

• 在实数域下，一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $M$ 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 $z$ 都有 $z^T M z \geq 0$ 。

• 在复数域下，一个 $n \times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 $z$ 都有 $z^* M z \geq 0$。

1.2 性质

对于 $n \times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$，下列性质与「$M$ 正定矩阵」等价：

• 矩阵 $M$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 都是非负的。由于 $M$ 必然与一个实对角 $D$ 相似，即 $M = P^{-1}DP$，则 $M$ 是正定矩阵当且仅当 $D$ 的对角线上的元素都是非负的。

• $M$ 的所有顺序主子式都是非负的。

• 存在下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是非负的，使得：$M = L L^*$。其中，$L^*$ 是 $L$ 的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。（分解不一定是唯一的）

对于实称阵，只需将上述性质中的 $\mathbb{C}^n$ 改成 $\mathbb{R}^n$，将「共轭转置」改为「转置」即可。

【注】负定矩阵和半负定矩阵的定义和性质类似正定矩阵和半正定矩阵。