切比雪夫多项式

1. 简介

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号 $T_n$ 表示，第二类切比雪夫多项式用 $U_n$ 表示。切比雪夫多项式 $T_n$ 或 $U_n$ 代表 $n$ 阶多项式。

棣莫弗定理

棣莫弗定理是一个关于复数和三角函数的公式，其内容为：对任意复数 $x$ 和整数 $n$，下列性质成立：

$$\begin{array}{c} (\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx) \end{array}$$

切比雪夫多项式分别是第一、第二类切比雪夫微分方程的解：

$$\begin{array}{c} (1-x^2)y^{''} - xy^{'} + n^2y = 0 \\ (1-x^2)y^{''} - 3xy^{'} + n(n+2)y = 0 \end{array}$$

2. 定义

2.1 第一类切比雪夫多项式

$$\begin{array}{c} T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) \end{array}$$

此时母函数表示为：

$$\begin{array}{c} \sum_{n=0}^\infty T_n(x)t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2} \end{array}$$

$T_0(x) = 1$
$T_1(x) = x$
$T_2(x) = 2x^2 - 1$
$T_3(x) = 4x^3 - 3x$
$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1$
$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$
$\cdots$

2.2 第二类切比雪夫多项式

$$\begin{array}{c} U_0(x) = 1 \\ U_1(x) = 2x \\ U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x) \end{array}$$

此时母函数表示为：

$$\begin{array}{c} \sum_{n=0}^\infty U_n(x)t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2} \end{array}$$

$U_0(x) = 1$
$U_1(x) = 2x$
$U_2(x) = 4x^2 - 1$
$U_3(x) = 8x^3 - 4x$
$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1$
$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x$
$\cdots$

3. 性质

• $T_n$ 和 $U_n$ 都是区间 $[-1,1]$ 上的正交多项式系。

第一类切比雪夫多项式

带权 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，满足

$$\begin{array}{c} \int_{-1}^1 T_n(x) T_m(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \begin{cases} 0 & n \ne m \\ \pi & n = m = 0 \\ \frac{\pi}{2} & n = m \ne 0 \end{cases} \end{array}$$

第二类切比雪夫多项式

带权 $\sqrt{1-x^2}$，满足

$$\begin{array}{c} \int_{-1}^1 U_n(x) U_m(x) \sqrt{1-x^2} dx = \begin{cases} 0 & n = m \\ \frac{\pi}{2} & n \ne m \end{cases} \end{array}$$

• 对每个非负整数 $n$，$T_{n}(x)$ 和 $U_{n}(x)$ 都为 $n$ 次多项式。并且当 $n$ 为偶（奇）数时，它们是关于 $x$ 的偶（奇）函数，在写成关于 $x$ 的多项式时只有偶（奇）次项。

• $n \geq 1$ 时，$T_{n}$ 的最高次项系数为 $2^{n-1}$，$n = 0$ 时系数为 1 。

• 两类切比雪夫多项式有如下关系：

$$\begin{array}{c} \frac{d}{dx} T_n(x) = nU_{n-1}(x), n = 1,\cdots \\ T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - U_{n-2}(x)) \\ T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1-x^2)U_{n-1}(x) \\ T_n(x) = U_n(x) - xU_{n-1}(x) \end{array}$$