1. 术语

  • 方阵:行数和列数相同的矩阵。
  • 长方矩阵:函数和列数可能不相同的矩阵。
  • Mm,nM_{m,n}:表示 mmnn 列复矩阵的集合。
  • MnM_n:表示 nn 阶复方阵的集合。
  • Cn\mathbb{C}^n:表示具有 nn 个复数分量的列向量的集合。
  • Rn\mathbb{R}^n:表示具有 nn 个实数分量的列向量的集合。
  • diag(d1,,dn)\mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_n):表示对角元素为 d1,,dnd_1,\cdots,d_n 的对角矩阵。

A=(aij)Mm,n A = (a_{ij}) \in M_{m,n} aija_{ij} 是矩阵 AA 的元素,则:

  • ATA^T:表示 AA 的转置。
  • A\overline{A}:表示 AA 的共轭。
  • AA^*:表示 AA 的共轭转置,即 A=(A)T A^* = (\overline{A})^T

2. 矩阵

2.1 定义

AMn A \in M_n

  • AA=AA A^* A = A A^* ,则称 AA正规矩阵

  • A=A A = A^* ,则称 AAHermite 矩阵;若 A=A A = -A^* ,则称 AA反 Hermite 矩阵

  • AA=I A^* A = I ,则称 AA酋矩阵

2.2 性质

  • Hermite 矩阵,反 Hermite 矩阵,酋矩阵都是正规矩阵。
  • 实 Hermite 矩阵就是实对称矩阵,实酋矩阵就是实正交矩阵。

3. 谱

一个方阵的全体特征值的集合称为该方阵的