排队论模型

1. 简介

我们使用六个符号表示排队模型，在符号之间用斜线隔开，记为 X/Y/Z/A/B/C 。第一个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；第二个符号 Y 表示服务时间的分布；第三个符号 Z 表示服务台数目；第四个符号 A 是系统容量限制；第五个符号 B 是顾客源数目；第六个符号 C 表示的是服务规则，例如先到先服务 FCFS， 后到先服务 LCFS 等。

2. Little（利特尔）公式

在排队论模型中，可以通过平均队长 $L_s$ ，平均排队长 $L_q$，平均等待时间 $W_q$，平均逗留时间 $W_s$ 这些基本数量指标判断系统运行的优劣。

2.1 定义

Little (利特尔)法则可用于一个稳定的、非占先式的系统中。其定义为：

• 在一个稳定的系统（$L$）中，长时间观测到的平均顾客人数等于长时间观测到的有效抵达率（$\lambda$）乘以顾客在这个系统中平均的等待时间（$W$）；用一个代数式表示为：

$$\begin{array}{c} L = \lambda W \end{array}$$

用 $\lambda$ 表示单位时间内顾客到达的平均数，$\mu$ 表示单位时间内接受完服务离开的平均顾客数，可以得到相邻两顾客到达的平均时间 $1 / \lambda$，每个顾客的平均服务时间 $1 / \mu$， 根据 Little 法则，我们可以得到以下 Little 公式：

$$\begin{array}{c} L_s = \lambda W_s \\ L_q = \lambda W_q \\ W_s = W_q + \frac{1}{\mu} \\ L_s = L_q + \frac{\lambda}{\mu} \end{array}$$