BSGS算法

1. 简介

BSGS 算法也称为大小步算法，主要用来解决

$$\begin{array}{c} A^x \equiv B \mod{p} \end{array}$$

的问题，其中 $p$ 为质数。

2. 算法

令 $x = i \cdot m -j$，其中 $m = \lceil \sqrt{p} \,\rceil$。此时原式等价于

$$\begin{array}{c} A^{i \cdot m - j} \equiv B \mod{p} \\ \Rightarrow A^{i \cdot m} \equiv A^{j} \cdot B \mod{p} \end{array}$$

然后枚举 $j \in [0,m]$，将 $A^{j} \cdot B$ 存入哈希表；再枚举 $i \in [1,m]$，从哈希表中寻找第一个满足 $A^{i \cdot m} \equiv A^{j} \cdot B \mod{p}$ 的 $i$，则此时

$$\begin{array}{c} x = i \cdot m -j \end{array}$$

即为所求解。该算法复杂度为 $O(\sqrt{p} \,)$。