1. 欧几里得距离

给定空间中两个点 (x1,y1){(x_1,y_1)}，(x2,y2){(x_2,y_2)}；它们之间的欧几里得距离公式为：

(x1−x2)2+(y1−y2)2\begin{array}{c} \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{array}

即两个点之间的直线距离。本质是向量的 2-范数。

2. 曼哈顿距离

给定空间中两个点 (x1,y1){(x_1,y_1)}，(x2,y2){(x_2,y_2)}；它们之间的曼哈顿距离公式为：

∣x1−x2∣+∣y1−y2∣\begin{array}{c} |x_1-x_2|+|y_1-y_2| \end{array}

即两个点之间的水平距离绝对值加上垂直距离的绝对值。本质是向量的 1-范数。
在平面上，从原点 OO 引出八条射线，相邻两射线角度均为 45∘{45^\circ}，则将整个平面划分成 8 块区域，对于每一块区域内的点 B(x1,y1){B(x_1,y_1)}，C(x2,y2){C(x_2,y_2)}满足：

  • 若 ∣OB∣<∣OC∣{|OB| \lt |OC|}，则 ∣BC∣<∣OC∣{|BC| \lt |OC|}（曼哈顿距离），即连接 OO、BB、CC 三点的最短曼哈顿树为 O→B→C{O \rightarrow B \rightarrow C} 。

3. 切比雪夫距离

给定空间中两个点 (x1,y1){(x_1,y_1)}，(x2,y2){(x_2,y_2)}；它们之间的切比雪夫距离公式为：

max(∣x1−x2∣,∣y1−y2∣)\begin{array}{c} max(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|) \end{array}

即两点之间横纵坐标距离绝对值的最大值。本质是向量的 ∞\infty-范数。

###【曼哈顿距离与切比雪夫距离比较】
如下图所示，矩形 EFGH{EFGH} 是到原点曼哈顿距离为 2 的点的集合，矩形 ABCD{ABCD} 是到原点切比雪夫距离为 2 的点的集合。

4. 闵可夫斯基距离

给定空间中两个点 (x1,y1){(x_1,y_1)}，(x2,y2){(x_2,y_2)}；它们之间的闵可夫斯基距离公式为：

(x1−x2)p+(y1−y2)pp\begin{array}{c} \sqrt[p]{(x_1-x_2)^p+(y_1-y_2)^p} \end{array}

本质是向量的范数，pp 取不同的值时对应不同的 pp-范数。