1. 简介

柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality，简称为 CS 不等式）被认为是数学中使用最广泛的不等式之一。

2. 表述

对于一个定义在域 F\mathbb{F}（F\mathbb{F} 为 R\mathbb{R} 或 C\mathbb{C}）上的内积空间 V\mathbf{V} 中的任意两个向量 u,v\mathbf{u}, \mathbf{v}，有以下 CS 不等式成立：

∣⟨u,v⟩∣2≤⟨u,u⟩⋅⟨v,v⟩\begin{array}{lll} |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \end{array}

其中，⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle 表示两个向量之间作内积。

证明
设变量 t∈Rt \in \mathbb{R}，∀u,v∈V\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbf{V},令 c=⟨u,v⟩c = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle，则有 c∈F,cc∗=c∗c=∣⟨u,v⟩∣2c \in \mathbb{F}, cc^* = c^*c = |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2。由内积空间的共轭对称性可知，⟨tu+cv,tu+cv⟩∈R\langle t\mathbf{u}+c\mathbf{v},t\mathbf{u}+c\mathbf{v} \rangle \in \mathbb{R}。又由非负性质可知

<tu+cv,tu+cv>=t⟨u,tu+cv⟩+c⟨v,tu+cv⟩=⟨u,u⟩t2+c∗⟨u,v⟩t+c⟨v,u⟩t+cc∗⟨v,v⟩=⟨u,u⟩t2+2∣⟨u,v⟩∣2t+∣⟨u,v⟩∣2⟨v,v⟩≥0\begin{array}{lll} <t\mathbf{u}+c\mathbf{v},t\mathbf{u}+c\mathbf{v}> & = & t\langle \mathbf{u},t\mathbf{u}+c\mathbf{v} \rangle + c\langle \mathbf{v},t\mathbf{u}+c\mathbf{v} \rangle \\ & = & \langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle t^2 + c^*\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle t + c\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle t + cc^*\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \\ & = & \langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle t^2 + 2|\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle|^2 t + |\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle|^2 \langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \\ & \geq & 0 \end{array}

根据一元二次方程的判别式可知：

Δ=(2∣⟨u,v⟩∣2)2−4⟨u,u⟩∣⟨u,v⟩∣2⟨v,v⟩≤0⇒∣⟨u,v⟩∣2≤⟨u,u⟩⟨v,v⟩\begin{array}{llll} &\Delta & = & (2|\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle|^2)^2 - 4\langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle |\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle|^2 \langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \\ & & \leq & 0 \\ \Rightarrow & |\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle|^2 & \leq & \langle \mathbf{u},\mathbf{u} \rangle \langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \end{array}

Q.E.D.

3. 特例

3.1 R2\mathbb{R}^2 空间

对于 R2\mathbb{R}^2 空间中任意两个向量 u,v\mathbf{u},\mathbf{v}，有以下的 CS 不等式成立：

(u1v1+u2v2)2≤(u12+u22)(v12+v22)\begin{array}{lll} (u_1 v_1 + u_2 v_2)^2 \leq (u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2) \end{array}

3.2 Rn\mathbb{R}^n 空间

对于 Rn\mathbb{R}^n 空间中任意两个向量 u,v\mathbf{u},\mathbf{v}，有以下的 CS 不等式成立：

(∑i=1nuivi)2≤(∑i=1nui2)(∑i=1nvi2)\begin{array}{lll} (\sum_{i=1}^n u_i v_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^n u_i^2)(\sum_{i=1}^n v_i^2) \end{array}

3.3 Cn\mathbb{C}^n 空间

对于 Cn\mathbb{C}^n 空间中任意两个向量 u,v\mathbf{u},\mathbf{v}，有以下的 CS 不等式成立：

∣u1vˉ1+⋯+unvˉn∣2≤(∣u1∣2+⋯+∣un∣2)(∣v1∣2+⋯+∣vn∣2)\begin{array}{lll} |u_1 \bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n |^2 \leq (|u_1|^2 + \cdots + |u_n|^2)(|v_1|^2 + \cdots + |v_n|^2) \end{array}

3.4 L2\mathbf{L}^2 空间

L2\mathbf{L}^2 空间是定义在均方可积下的复函数内积空间，对应的 CS 不等式为：

∣∫Rnf(x)g(x)‾dx∣2≤∫Rn∣f(x)∣2dx∫Rn∣g(x)∣2dx\begin{array}{lll} |\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\overline{g(x)} dx |^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2 dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 dx \end{array}

附录

参考资料：